一元N次方程一定存在N个复数解,这是代数基本定理
证明一
寻找一个中心为原点,半径为r的闭圆盘D,使得当|z| ≥ r时,就有|p(z)| > |p(0)|.因此,|p(z)|在D内的最小值（一定存在,因为D是紧致的）,是在D的内部的某个点z0取得,但不能在边界上取得.于是,根据最小模原理,p(z0) = 0.也就是说,z0是p(z)的一个零点（根）.
证明二
由于在D之外,有|p(z)| > |p(0)|,因此在整个复平面上,|p(z)|的最小值在z0取得.如果|p(z0)| > 0,那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数,这是因为对于每一个复数z,都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|.利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数）,可知1/p是常数,因此p是常数.于是得出矛盾,所以p(z0) = 0. 一元N次方程一定存在N个复数解,这是代数基本定理
证明一
寻找一个中心为原点,半径为r的闭圆盘D,使得当|z| ≥ r时,就有|p(z)| > |p(0)|.因此,|p(z)|在D内的最小值（一定存在,因为D是紧致的）,是在D的内部的某个点z0取得,但不能在边界上取得.于是,根据最小模原理,p(z0) = 0.也就是说,z0是p(z)的一个零点（根）.
证明二
由于在D之外,有|p(z)| > |p(0)|,因此在整个复平面上,|p(z)|的最小值在z0取得.如果|p(z0)| > 0,那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数,这是因为对于每一个复数z,都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|.利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数）,可知1/p是常数,因此p是常数.于是得出矛盾,所以p(z0) = 0.