证明：若f(x)在负无穷到正无穷上连续,且以T为周期,则∫[a,a+T]f(x)dx=∫[0,t]f(x)dx对任意a成立.
2019-06-02
证明：若f(x)在负无穷到正无穷上连续,且以T为周期,则∫[a,a+T]f(x)dx=∫[0,t]f(x)dx对任意a成立.
优质解答
首先：容易证明 ∫[0,a] f(x) dx = ∫[T,a + T] f(x) dx.
其次我们有 ∫[a,b] = ∫[-无穷,b] - ∫[-无穷,a]
最后,化左式 = ∫[-无穷,a + T] - ∫[-无穷,a]
= ∫[-无穷,a + T] - ∫[-无穷,T] + ∫[-无穷,T] - ∫[-无穷,a]
= ∫[T,a + T] + ∫[a,T]
= ∫[0,a] + ∫[a,T]
= ∫[0,T]
首先：容易证明 ∫[0,a] f(x) dx = ∫[T,a + T] f(x) dx.
其次我们有 ∫[a,b] = ∫[-无穷,b] - ∫[-无穷,a]
最后,化左式 = ∫[-无穷,a + T] - ∫[-无穷,a]
= ∫[-无穷,a + T] - ∫[-无穷,T] + ∫[-无穷,T] - ∫[-无穷,a]
= ∫[T,a + T] + ∫[a,T]
= ∫[0,a] + ∫[a,T]
= ∫[0,T]