1用累加法求an=an－1+f（n）型通项
例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2）,求an.
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2）,求an.
（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2,记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1),记f（n）=2n(1)= an－an－1
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
评注：当f（n）=d（d为常数）时,数列{an}就是等差数列,教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的.
2、用累积法求an= f（n）an－1型通项
例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2）,求an
（2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1,求an
（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）),记f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
评注：如果f（n）=q（q为常数）,则{an}为等比数列,an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广,教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的.
3、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1,求其通项公式.
由已知,an＋1＋2an=1,即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x）,则an=－2 an－1－3x,于是－3x=1,故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q为－2,首项为an－3(1)=3(2)的等比数列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
评注：一般地,当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x,则有
（A－1）x=B知x=A－1(B),从而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)）,于是数列{an＋A－1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为A的等比数列,故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1,从而
an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地,当A=0时{an}为等差数列；当A≠0,B=0时,数列{an}为等比数列.
4、通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3,求an.
令n=1,有a1=5an－3,∴a1=4(3).由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－4(1)an-1,则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的等比数列,则an=4(3)（－4(1)）n-1
5,取倒数转化为等差数列
例11：已知数列{an}满足a1=1且a
n+1=
an+2(2an),求an.
n+1=
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以,数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公差为d=2(1)的等差数列
则an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 从而an=n+1(2)
6,构造函数模型转化为等比数列
例12：已知数列{an}满足a1=3且a
n+1=
（an－1）2+1,求an.
由条件a
n+1=
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2
两边取对数有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列
所以,lg（an－1）=lg2·2n－1=lg
则an－1= 即an=+1
评注：通过构造对数函数达到降次的目的,使原来的递推关系转化为等比数列进行求
7,
数学归纳法
例13：数列{an}满足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2）,求an.
通过递推关系求出数列前几项如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通项公式为an=2+n(2).下用归纳法给出证明
显然,当n=1时,a1=4=2+1(2),等式成立
假设当n=k时,等式成立,即ak=2+k(2)
则当n=k+1时,a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由归纳法原理知,对一切n∈N+都有an=2+n(2).
评注：先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明. 1用累加法求an=an－1+f（n）型通项
例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2）,求an.
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2）,求an.
（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2,记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1),记f（n）=2n(1)= an－an－1
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
评注：当f（n）=d（d为常数）时,数列{an}就是等差数列,教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的.
2、用累积法求an= f（n）an－1型通项
例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2）,求an
（2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1,求an
（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）),记f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
评注：如果f（n）=q（q为常数）,则{an}为等比数列,an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广,教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的.
3、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1,求其通项公式.
由已知,an＋1＋2an=1,即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x）,则an=－2 an－1－3x,于是－3x=1,故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q为－2,首项为an－3(1)=3(2)的等比数列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
评注：一般地,当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x,则有
（A－1）x=B知x=A－1(B),从而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)）,于是数列{an＋A－1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为A的等比数列,故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1,从而
an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地,当A=0时{an}为等差数列；当A≠0,B=0时,数列{an}为等比数列.
4、通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3,求an.
令n=1,有a1=5an－3,∴a1=4(3).由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－4(1)an-1,则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的等比数列,则an=4(3)（－4(1)）n-1
5,取倒数转化为等差数列
例11：已知数列{an}满足a1=1且a
n+1=
an+2(2an),求an.
n+1=
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以,数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公差为d=2(1)的等差数列
则an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 从而an=n+1(2)
6,构造函数模型转化为等比数列
例12：已知数列{an}满足a1=3且a
n+1=
（an－1）2+1,求an.
由条件a
n+1=
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2
两边取对数有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列
所以,lg（an－1）=lg2·2n－1=lg
则an－1= 即an=+1
评注：通过构造对数函数达到降次的目的,使原来的递推关系转化为等比数列进行求
7,
数学归纳法
例13：数列{an}满足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2）,求an.
通过递推关系求出数列前几项如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通项公式为an=2+n(2).下用归纳法给出证明
显然,当n=1时,a1=4=2+1(2),等式成立
假设当n=k时,等式成立,即ak=2+k(2)
则当n=k+1时,a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由归纳法原理知,对一切n∈N+都有an=2+n(2).
评注：先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明.