1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6这个式子可以可以直接用,由它得出下面两式
1^2+2^2+3^2+4^2+...+(2n)^2=n(2n+1)(4n+1)/3 ①
乘4得:2^2+4^2+6^2+8^2+...+(2n)^2=2n(n+1)(2n+1)/3 ②
①-②得
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=n(2n+1)(2n-1)/3
用数学归纳法证明是:
当n=1时
1^2=1*3*1/3
假设当n=k时等式成立
即1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=k(2k+1)(2k-1)/3
则1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2
=k(2k+1)(2k-1)/3+(2k+1)^2
=(2k+1)(2k^2+5k+3)/3
=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3
打了很长时间啊, 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6这个式子可以可以直接用,由它得出下面两式
1^2+2^2+3^2+4^2+...+(2n)^2=n(2n+1)(4n+1)/3 ①
乘4得:2^2+4^2+6^2+8^2+...+(2n)^2=2n(n+1)(2n+1)/3 ②
①-②得
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=n(2n+1)(2n-1)/3
用数学归纳法证明是:
当n=1时
1^2=1*3*1/3
假设当n=k时等式成立
即1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=k(2k+1)(2k-1)/3
则1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2
=k(2k+1)(2k-1)/3+(2k+1)^2
=(2k+1)(2k^2+5k+3)/3
=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3
打了很长时间啊,