大学高等代数矩阵证明题 （合同标准型）设A为实对称矩阵,则1)存在正实数t,使tE+A正定；2)存在正实数t,使E+tA正定；3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正定.在第一问中A为实对称矩阵,则T'AT=diag(d1,d2,...,dn).T正交,T逆=T' (这里怎么说明T是正交的）.所以 T逆(tE+A)T=T逆tET+T逆AT=tE+T'AT=diag(t+d1,t+d2,...,t+dn)因为本人对这个的思路有点混乱,第二第三个问也要回答PS：在第一问中
2019-05-07
大学高等代数矩阵证明题 （合同标准型）
设A为实对称矩阵,则
1)存在正实数t,使tE+A正定；
2)存在正实数t,使E+tA正定；
3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正定.
在第一问中
A为实对称矩阵,则T'AT=diag(d1,d2,...,dn)
.
T正交,T逆=T' (这里怎么说明T是正交的）
.
所以 T逆(tE+A)T=T逆tET+T逆AT=tE+T'AT=diag(t+d1,t+d2,...,t+dn)
因为本人对这个的思路有点混乱,第二第三个问也要回答
PS：在第一问中是怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解的，普分解定理我没学，说这个我不明白的
优质解答
利用“实对称矩阵A是正定阵的充要条件是A的所有特征值大于0”即可完成所有证明.
因A是实对称阵,所以A的所有特征值是实数,可设A的最小特征值是a,最大特征值是b.
问题1中,取t>-a即可.
问题2中,
若A特征值全大于或等于0,则t可取任意正数；
若A特征值全小于0,则t可取任意负数；
若A特征值有正有负,则取-1/b
利用“实对称矩阵A是正定阵的充要条件是A的所有特征值大于0”即可完成所有证明.
因A是实对称阵,所以A的所有特征值是实数,可设A的最小特征值是a,最大特征值是b.
问题1中,取t>-a即可.
问题2中,
若A特征值全大于或等于0,则t可取任意正数；
若A特征值全小于0,则t可取任意负数；
若A特征值有正有负,则取-1/b