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如果f2（x）=∫x0f（t）sint2+costdt，求f（x）．

2019-04-22

如果f2（x）=
∫
x
0
f（t）
sint
2+cost
dt，求f（x）．
优质解答
由题意，f2（x）=
∫
x
0
f（t）
sint
2+cost
dt两边对x求导，得
2f(x)f′(x)＝f(x)
sinx
2+cosx

若f（x）≠0，则
f′(x)＝
sinx
2+cosx

∴上式两边积分，得
f(x)＝∫
sinx
2+cosx
dx＝c−ln(2+cosx)
又f（x）≡0，显然也满足题设条件
∴f（x）=c-ln（2+cosx）或f（x）≡0 由题意，f2（x）=
∫
x
0
f（t）
sint
2+cost
dt两边对x求导，得
2f(x)f′(x)＝f(x)
sinx
2+cosx

若f（x）≠0，则
f′(x)＝
sinx
2+cosx

∴上式两边积分，得
f(x)＝∫
sinx
2+cosx
dx＝c−ln(2+cosx)
又f（x）≡0，显然也满足题设条件
∴f（x）=c-ln（2+cosx）或f（x）≡0
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