fx是正无穷到负无穷上的连续函数 且fx的极限为正无穷,证明fx在正无穷到负无穷取到它的最小值
2019-06-02
fx是正无穷到负无穷上的连续函数 且fx的极限为正无穷,证明fx在正无穷到负无穷取到它的最小值
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在[-n,n](n为自然数上函数连续,必有最小值,记为Sn,Sn随n增大而减小（大范围的最小值比部分范围的最小值要小）,故当n趋向无穷时Sn有极限S.S即函数在定义域内的最小值.设取得最小值的点为xn.还要说明S不会为负无穷.若不然,xn必然无界.若有界,设xn都在区间[-M,M]内,函数在[-M,M]i的最小值为负无穷,或无界,与连续函数矛盾.故{xn}内有一个趋向无穷的子列,其函数值趋向负无穷,这与x趋向无穷时函数趋向正无穷矛盾.
在[-n,n](n为自然数上函数连续,必有最小值,记为Sn,Sn随n增大而减小（大范围的最小值比部分范围的最小值要小）,故当n趋向无穷时Sn有极限S.S即函数在定义域内的最小值.设取得最小值的点为xn.还要说明S不会为负无穷.若不然,xn必然无界.若有界,设xn都在区间[-M,M]内,函数在[-M,M]i的最小值为负无穷,或无界,与连续函数矛盾.故{xn}内有一个趋向无穷的子列,其函数值趋向负无穷,这与x趋向无穷时函数趋向正无穷矛盾.