一道数学证明,证明 1/n,n=1,2,3,4,...都是此数列的聚点这个数列 是{s(n)/n}s(n)的定义是 n的质数因子的和,比如8 = 2*2*2,s(8)=6 .12=2*3*4 s(12)=9聚点的定义是:K is a cluster point of the sequence {an} ifgiven e > 0,|an-K|
2019-05-30
一道数学证明,证明 1/n,n=1,2,3,4,...都是此数列的聚点
这个数列 是{s(n)/n}
s(n)的定义是 n的质数因子的和,比如8 = 2*2*2,s(8)=6 .12=2*3*4 s(12)=9
聚点的定义是:
K is a cluster point of the sequence {an} if
given e > 0,|an-K|
优质解答
即对于任意的n,
我们需要构造一个子列{nk}使得S(nk)/nk->1/n即可
令此子列为
nk=n*pk,k=1,2,3,...
{pk}表示第k个质数
所以根据定义
S(nk)=S(n*pk)
因为pk是质数,所以是nk的一个质因子
所以S(n*pk)=S(n)+pk
所以S(nk)/nk
=(S(n)+pk)/nk
=S(n)/(n*pk)+1/n
因为n现在固定
所以S(n)/n是定值
pk显然随着k增大而趋于无穷
用极限语言
对于任意的e>0和自然数n>0
只要选择k>K0,
使得第K0个质数pK0>[S(n)/n]/e
则|S(nk)/nk-1/n|
=|S(n)/(n*pk)|
=[S(n)/n]/pk
即对于任意的n,
我们需要构造一个子列{nk}使得S(nk)/nk->1/n即可
令此子列为
nk=n*pk,k=1,2,3,...
{pk}表示第k个质数
所以根据定义
S(nk)=S(n*pk)
因为pk是质数,所以是nk的一个质因子
所以S(n*pk)=S(n)+pk
所以S(nk)/nk
=(S(n)+pk)/nk
=S(n)/(n*pk)+1/n
因为n现在固定
所以S(n)/n是定值
pk显然随着k增大而趋于无穷
用极限语言
对于任意的e>0和自然数n>0
只要选择k>K0,
使得第K0个质数pK0>[S(n)/n]/e
则|S(nk)/nk-1/n|
=|S(n)/(n*pk)|
=[S(n)/n]/pk