在完备的度量空间中,求证：为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对e > 0,存在A的列紧的e网
2019-06-19
在完备的度量空间中,求证：为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对e > 0,存在A的列紧的e网
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(1) 若子集A是列紧的,由Hausdorff定理, > 0,存在A的有限网N． 而有限集是列紧的,故存在A的列紧的网N． (2) 若e > 0,存在A的列紧的e/2网B． 因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限/2网C． 因C < B < A,故C为A的有限e网． 因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的．
(1) 若子集A是列紧的,由Hausdorff定理, > 0,存在A的有限网N． 而有限集是列紧的,故存在A的列紧的网N． (2) 若e > 0,存在A的列紧的e/2网B． 因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限/2网C． 因C < B < A,故C为A的有限e网． 因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的．