数学
国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]．若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表． 运动时间性别运动达人非运动达人合计男生36女生26合计100（Ⅰ）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过

2019-04-28

国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]．若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表．
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生36
女生26
合计100
（Ⅰ）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
 P（K2≥k0） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 
 k0 2.0722.706 3.841  5.0246.635
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
优质解答
（I）列联表如下：
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
K2=
100×(36×26-14×24)2
60×40×50×50
=6>5.024．
∴在犯错误概率不超过0.025的前提下可以性别与“是否为‘运动达人’”有关．
（II）随机调查一名男生，则这名男生为运动达人的概率为P=
36
60
=
3
5
．
X的可能取值为0，1，2，3．
∴P（X=0）=（1-
3
5
）3=
8
125
，P（X=1）=C
 
1
3
（
3
5
）（1-
3
5
）2=
36
125
，P（X=2）=C
 
2
3
（
3
5
）2（1-
3
5
）=
54
125
，P（X=3）=（
3
5
）3=
27
125
．
∴X的分布列为：
 X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
∴E（X）=3×
3
5
=
9
5
．D（X）=3×
3
5
×
2
5
=
18
25
． （I）列联表如下：
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
K2=
100×(36×26-14×24)2
60×40×50×50
=6>5.024．
∴在犯错误概率不超过0.025的前提下可以性别与“是否为‘运动达人’”有关．
（II）随机调查一名男生，则这名男生为运动达人的概率为P=
36
60
=
3
5
．
X的可能取值为0，1，2，3．
∴P（X=0）=（1-
3
5
）3=
8
125
，P（X=1）=C
 
1
3
（
3
5
）（1-
3
5
）2=
36
125
，P（X=2）=C
 
2
3
（
3
5
）2（1-
3
5
）=
54
125
，P（X=3）=（
3
5
）3=
27
125
．
∴X的分布列为：
 X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
∴E（X）=3×
3
5
=
9
5
．D（X）=3×
3
5
×
2
5
=
18
25
．
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