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（1）若x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，其中p2-4q≥0，求证：x1+x2=-p，x1•x2=q；（2）若抛物线y=x2+px+p-2与x轴交于点A（x1，0）和B（x2，0）（x2＞x1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2有最小值？并求出最小值．

2019-05-03

（1）若x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，其中p2-4q≥0，求证：x1+x2=-p，x1•x2=q；
（2）若抛物线y=x2+px+p-2与x轴交于点A（x1，0）和B（x2，0）（x2＞x1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2有最小值？并求出最小值．
优质解答
（1）证明：∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=
−p+
p2−4q
2
，x2=
−p−
p2−4q
2
．  
∴x1+x2=
−p+
p2−4q
2
+
−p−
p2−4q
2
=-p，
x1•x2=
−p+
p2−4q
2
×
−p−
p2−4q
2
q；

（2）由（1）得，x1+x2=-p，x1•x2=p-2，
∴d2＝(x2−x1)2＝(x1+ （1）证明：∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=
−p+
p2−4q
2
，x2=
−p−
p2−4q
2
．  
∴x1+x2=
−p+
p2−4q
2
+
−p−
p2−4q
2
=-p，
x1•x2=
−p+
p2−4q
2
×
−p−
p2−4q
2
q；

（2）由（1）得，x1+x2=-p，x1•x2=p-2，
∴d2＝(x2−x1)2＝(x1+
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