已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是．
2019-05-27
已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是___．
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f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]
由f（x）＜0
即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0
解得a-1＜x＜a+1，
那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）
又f（x）=（x-a）2-1
当x=a时，f（x）取得最小值-1
即函数的值域为[-1，+∞）
若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，
那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集
所以a+1≤-1
所以a≤-2．
故答案为：a≤-2．
f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]
由f（x）＜0
即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0
解得a-1＜x＜a+1，
那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）
又f（x）=（x-a）2-1
当x=a时，f（x）取得最小值-1
即函数的值域为[-1，+∞）
若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，
那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集
所以a+1≤-1
所以a≤-2．
故答案为：a≤-2．