考研数学,常微分方程部分,谁能帮我看看这道题的解答过程,不太理解啊~在线等啊~一容器在开始时盛有水100升,其中含净盐10公升,然后以每分钟3升的速率注入清水,同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出,容器中装有搅拌器,使容器中的溶液保持均匀,求过程开始后1小时溶液的含盐量【解】设t分钟对应的含盐量为x(t)则在t分钟时的盐溶度为x(t)/(100+3t-2t)=x(t)/(100+t)我们令再过一段无穷小的时间△t所流出的盐的量为[x(t)/(100+t)]2△t即是△x(t)=-[x(t)/[(100

2020-02-08

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考研数学,常微分方程部分,谁能帮我看看这道题的解答过程,不太理解啊~在线等啊~
一容器在开始时盛有水100升,其中含净盐10公升,然后以每分钟3升的速率注入清水,同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出,容器中装有搅拌器,使容器中的溶液保持均匀,求过程开始后1小时溶液的含盐量
【解】设t分钟对应的含盐量为x(t)则
在t分钟时的盐溶度为x(t)/(100+3t-2t)=x(t)/(100+t)
我们令再过一段无穷小的时间△t所流出的盐的量为[x(t)/(100+t)]2△t
即是△x(t)=-[x(t)/[(100+t)]2△t
这就是得出来的微分方程,很容易解出来通解
x(t)=C/(100+t)^2 (1)
利用t=0时,x(0)=10很容易求出
C=(10)^5
因而过程开始后1小时即t=60代入（1）式即可得出一小时后溶液的含盐量
x(60)==(10)^5/(1600^2)=10/(16)^2=5/128
不太理解这一步啊：“我们令再过一段无穷小的时间△t所流出的盐的量为[x(t)/(100+t)]2△t”

优质解答

(100+t)表示t时刻溶液体积,dn表示浓度在dt内的变化（减小）,于是(100+t)*dn就表示容器中纯盐的减小；在dt内,纯盐的减小还可以表示为冲淡的盐水流出的量2dt与浓度n的乘积：2ndt,于是就能得到微分方程

(100+t)*dn=-2n*dt 负号表示n随时间减小