高等数学导数应用题已知汽车行驶时每小时的耗油费用y(元)与行驶速度x(公里/小时)的关系是y=(x的三次方)/2500,若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元,求最经济的行驶速度.
2019-05-30
高等数学导数应用题
已知汽车行驶时每小时的耗油费用y(元)与行驶速度x(公里/小时)的关系是y=(x的三次方)/2500,若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元,求最经济的行驶速度.
优质解答
不妨设行驶的距离为S（公里）,可视为已知量,行驶距离S所用的总费用为C,行驶S所需的时间为S/x,由条件可知：
C=(x^3/2500)*(S/x)+100*(S/x)
最经济的行驶速度即C最小时,x的大小,
应用均值不等式：
C=(x^3/2500)*(S/x)+50*(S/x)+50*(S/x)
>=[(x^3/2500)*(S/x)*50*(S/x)*50*(S/x)]^(1/3)
=3S
等号成立的条件是（x^3/2500）*(S/x)=50*(S/x)
两边消去S,得到x=50
因此最经济的行驶速度为50公里/小时
不妨设行驶的距离为S（公里）,可视为已知量,行驶距离S所用的总费用为C,行驶S所需的时间为S/x,由条件可知：
C=(x^3/2500)*(S/x)+100*(S/x)
最经济的行驶速度即C最小时,x的大小,
应用均值不等式：
C=(x^3/2500)*(S/x)+50*(S/x)+50*(S/x)
>=[(x^3/2500)*(S/x)*50*(S/x)*50*(S/x)]^(1/3)
=3S
等号成立的条件是（x^3/2500）*(S/x)=50*(S/x)
两边消去S,得到x=50
因此最经济的行驶速度为50公里/小时