高等数学应用题要造一个体积为V的无盖圆柱形蓄水池,地面所用材料的价格是四周所用材料的2倍,问如何地面圆的半径r和圆柱形的高h,才能使所需的费用最少
2019-05-30
高等数学应用题
要造一个体积为V的无盖圆柱形蓄水池,地面所用材料的价格是四周所用材料的2倍,问如何地面圆的半径r和圆柱形的高h,才能使所需的费用最少
优质解答
V=πr ²*h
h=V/πr ²
S底=πr ²
S四周=2πr*h
令f（r）=πr ²+2*2πr*h=πr ²+4πr*V/πr ²=πr ²+4V/r
f′（r）=2πr-4V/r ²=0
2πr=4V/r ²
r ³=2V/π
r=（2V/π）＾1/3
h=V/πr ²=1/2（2V/π）＾1/3
V=πr ²*h
h=V/πr ²
S底=πr ²
S四周=2πr*h
令f（r）=πr ²+2*2πr*h=πr ²+4πr*V/πr ²=πr ²+4V/r
f′（r）=2πr-4V/r ²=0
2πr=4V/r ²
r ³=2V/π
r=（2V/π）＾1/3
h=V/πr ²=1/2（2V/π）＾1/3