数学
国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”，根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如表2×2列联表．运动时间性别  运动达人非运动达人合计男生 36  女生  26 合计  100 （1）请根据题目信息，将2×2类联表中的

2019-04-28

国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”，根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如表2×2列联表．
运动时间
性别  		运动达人非运动达人合计
男生 36  
女生  26 
合计  100 
（1）请根据题目信息，将2×2类联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误频率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010
k02.0722.7063.8415.0246.635
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
优质解答
（1）列联表如下：
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
计算观测值K2=
100×(36×26-24×14)2
60×40×50×50
=6>5.024，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）随机调查一名男生，则这名男生为运动达人的概率为
P=
36
60
=
3
5
，
X的可能取值为0，1，2，3；
所以P（X=0）=（1-
3
5
）3=
8
125
，
P（X=1）=
C
1
3
•
3
5
•（1-
3
5
）2=
36
125
，
P（X=2）=
C
2
3
•（
3
5
）2（1-
3
5
）=
54
125
，
P（X=3）=（
3
5
）3=
27
125
；
所以X的分布列为：
X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
E（X）=3×
3
5
=
9
5
，
D（X）=3×
3
5
×（1-
3
5
）=
18
25
． （1）列联表如下：
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
计算观测值K2=
100×(36×26-24×14)2
60×40×50×50
=6>5.024，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）随机调查一名男生，则这名男生为运动达人的概率为
P=
36
60
=
3
5
，
X的可能取值为0，1，2，3；
所以P（X=0）=（1-
3
5
）3=
8
125
，
P（X=1）=
C
1
3
•
3
5
•（1-
3
5
）2=
36
125
，
P（X=2）=
C
2
3
•（
3
5
）2（1-
3
5
）=
54
125
，
P（X=3）=（
3
5
）3=
27
125
；
所以X的分布列为：
X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
E（X）=3×
3
5
=
9
5
，
D（X）=3×
3
5
×（1-
3
5
）=
18
25
．
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