数学
高三（3）班数学兴趣小组的甲、乙、丙三人独立解同一道数学难题，已知甲、乙、丙各自解出的概率分别为12、13、p，且他们是否解出该题互不影响．若三人中只有甲解出的概率为14．（1）求甲、乙二人中至少有一人解出的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率．

2019-05-07

高三（3）班数学兴趣小组的甲、乙、丙三人独立解同一道数学难题，已知甲、乙、丙各自解出的概率分别为
1
2
、
1
3
、p，且他们是否解出该题互不影响．若三人中只有甲解出的概率为
1
4
．
（1）求甲、乙二人中至少有一人解出的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率．
优质解答
记“甲、乙、丙三人各自解出该题”分别为事件A1，A2，A3，
依题意有P（A1）=
1
2
，P（A2）=
1
3
，P（A3）=p，且A1，A2，A3相互独立．
（1）甲、乙二人中至少有一人解出该题的概率为
1-P（
.
A1
•
.
A2
）=1-
1
2
×
2
3
=
2
3
.5分
（2）设“三人中只有甲解出该题”为事件B，
“三人中恰好有两人解出该题”为事件 C，则有：
P（B）=P（A1•
.
A
2•
.
A
3）=
1
2
×
2
3
×（1-p）=
1-p
3
=
1
4
，p=
1
4
．
∴甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率：
P（C）=P（A1•A2•
.
A
3）+P（A1•
.
A
2•A3）+P（
.
A
1•A2•A3）
=
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
3
×
1
4
=记“甲、乙、丙三人各自解出该题”分别为事件A1，A2，A3，
依题意有P（A1）=
1
2
，P（A2）=
1
3
，P（A3）=p，且A1，A2，A3相互独立．
（1）甲、乙二人中至少有一人解出该题的概率为
1-P（
.
A1
•
.
A2
）=1-
1
2
×
2
3
=
2
3
.5分
（2）设“三人中只有甲解出该题”为事件B，
“三人中恰好有两人解出该题”为事件 C，则有：
P（B）=P（A1•
.
A
2•
.
A
3）=
1
2
×
2
3
×（1-p）=
1-p
3
=
1
4
，p=
1
4
．
∴甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率：
P（C）=P（A1•A2•
.
A
3）+P（A1•
.
A
2•A3）+P（
.
A
1•A2•A3）
=
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
3
×
1
4
=
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