【大学数学】求空间区域的体积/平面面积,涉及线性变换,比如要求空间里一个椭球体的体积,直接用重积分计算不方便,现在考虑对坐标用线性变换,矩阵是A,变成了一个球体.计算出这个球体的体积为V,那么原椭球体的体积怎么求?与det（A）有什么关系?又如,空间一椭球体,被一平面截得一个椭圆,欲求此椭圆面积.用坐标变换,将椭球体变换成球体,变换矩阵是A.同时平面也发生变化.变换后的截面是圆,面积求得为S.要由S得到原截面椭圆的面积,
2019-05-29
【大学数学】求空间区域的体积/平面面积,涉及线性变换,
比如要求空间里一个椭球体的体积,直接用重积分计算不方便,
现在考虑对坐标用线性变换,矩阵是A,变成了一个球体.计算出这个球体的体积为V,
那么原椭球体的体积怎么求?与det（A）有什么关系?
又如,空间一椭球体,被一平面截得一个椭圆,欲求此椭圆面积.
用坐标变换,将椭球体变换成球体,变换矩阵是A.同时平面也发生变化.
变换后的截面是圆,面积求得为S.
要由S得到原截面椭圆的面积,
优质解答
根据重积分的变量代换公式容易知道,如果A是从椭球到球的变换矩阵,则椭球的体积等于球的体积乘以1/det(A) .
求椭圆面积不能用三重积分.A作为一个三阶行列式反映的是体积元的变化,它不足以确定椭圆面积的变化情况,因为第三个维度的变化不确定.因而不能采用这个方法求椭圆的面积.
根据重积分的变量代换公式容易知道,如果A是从椭球到球的变换矩阵,则椭球的体积等于球的体积乘以1/det(A) .
求椭圆面积不能用三重积分.A作为一个三阶行列式反映的是体积元的变化,它不足以确定椭圆面积的变化情况,因为第三个维度的变化不确定.因而不能采用这个方法求椭圆的面积.