数学
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

2019-04-22

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．
作业帮
优质解答
作业帮 （1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x2-5x-6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2-5m-6），四边形PACB的面积为S，
则PM=-m2+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=
1
2
（-m2+5m+6）（m+1）+
1
2
（6-m2+5m+6）（5-m）+
1
2
×1×6作业帮
=-3m2+12m+36
=-3（m-2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2-5m-6=22-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
y=x2-5x-6=（x-
5
2
）2-
49
4
；
因为Q3在对称轴上，所以设Q3（
5
2
，y），
∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，
由勾股定理得：（
5
2
+1）2+y2=（
5
2
-5）2+（y+6）2，
y=-
5
2
，
∴Q3（
5
2
，-
5
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）． 作业帮 （1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x2-5x-6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2-5m-6），四边形PACB的面积为S，
则PM=-m2+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=
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（-m2+5m+6）（m+1）+
1
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（6-m2+5m+6）（5-m）+
1
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×1×6作业帮
=-3m2+12m+36
=-3（m-2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2-5m-6=22-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
y=x2-5x-6=（x-
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）2-
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；
因为Q3在对称轴上，所以设Q3（
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，y），
∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，
由勾股定理得：（
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+1）2+y2=（
5
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-5）2+（y+6）2，
y=-
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，
∴Q3（
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，-
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）．
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