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（2014•淄博二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=22，PA=2，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为45°，试确定点M的位置．

2019-04-29

（2014•淄博二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2
2
，PA=2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为45°，试确定点M的位置．
优质解答
（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB⊂平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，…（2分）
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB⊂平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，…（3分）
又因为AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以AC⊥AB，…（4分）
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），C（0，4，0），D（-2，2，0），P（0，0，2），
PD
＝(−2，2，−2)，
AC
＝(0，4，0)，
设M（x，y，z），
PM
＝t
PD
，则（x，y，z-2）=t（-2，2，-2），
故点M坐标为（-2t，2t，-2t），
AM
＝(−2t，2t，2−2t)，…（8分）
设平面MAC的法向量为
n1
=（x，y，z），则
（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB⊂平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，…（2分）
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB⊂平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，…（3分）
又因为AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以AC⊥AB，…（4分）
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），C（0，4，0），D（-2，2，0），P（0，0，2），
PD
＝(−2，2，−2)，
AC
＝(0，4，0)，
设M（x，y，z），
PM
＝t
PD
，则（x，y，z-2）=t（-2，2，-2），
故点M坐标为（-2t，2t，-2t），
AM
＝(−2t，2t，2−2t)，…（8分）
设平面MAC的法向量为
n1
=（x，y，z），则
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