一道高二数学题,需要详细的解答过程,xiexie自椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1（注：1为下标）,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.（1）求此椭圆的离心率（2）P为椭圆上一点,F2（注：2为下标）为右焦点,当│PF1│·│PF2│取最大值时,求P点的坐标.
2019-04-02
一道高二数学题,需要详细的解答过程,xiexie
自椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1（注：1为下标）,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.
（1）求此椭圆的离心率
（2）P为椭圆上一点,F2（注：2为下标）为右焦点,当│PF1│·│PF2│取最大值时,求P点的坐标.
优质解答
A(a,0),B(0,b)
则AB斜率=-b/a
所以OM斜率是-b/a
所以OM是y=-b/a*x
代入椭圆
x^2/a^2+x^2/a^2=1
x^2=a^2/2
M的横坐标是(-c,0)
所以x=-a/√2
则-a/√2=-c
e=c/a=√2/2
PF1+PF2=2a
由均值不等式
PF1+PF2=2a>=2√(PF1*PF2)
所以PF1*PF
A(a,0),B(0,b)
则AB斜率=-b/a
所以OM斜率是-b/a
所以OM是y=-b/a*x
代入椭圆
x^2/a^2+x^2/a^2=1
x^2=a^2/2
M的横坐标是(-c,0)
所以x=-a/√2
则-a/√2=-c
e=c/a=√2/2
PF1+PF2=2a
由均值不等式
PF1+PF2=2a>=2√(PF1*PF2)
所以PF1*PF