证明：(1)若对任意x∈S1都有x∈S2,即S1包含于S2,那么S1∪S2=S2为R的真子集,故必存在c∈R使c∉S1∪S2
(2)若S2包含于S1,同理可证存在c∈R使c∉S1∪S2
(3)若上述两种情况都不成立,即存在x∈S1使x∉S2,且存在y∈S2使y∉S1,那么考虑x+y∈R,若它属于S1,则应有y=(x+y)-x属于S1,矛盾!因此它不属于S1.同理它不属于S2,因此x+y∉S1∪S2,得证. 证明：(1)若对任意x∈S1都有x∈S2,即S1包含于S2,那么S1∪S2=S2为R的真子集,故必存在c∈R使c∉S1∪S2
(2)若S2包含于S1,同理可证存在c∈R使c∉S1∪S2
(3)若上述两种情况都不成立,即存在x∈S1使x∉S2,且存在y∈S2使y∉S1,那么考虑x+y∈R,若它属于S1,则应有y=(x+y)-x属于S1,矛盾!因此它不属于S1.同理它不属于S2,因此x+y∉S1∪S2,得证.