高一数学较难一道方程题·希望“我不是他舅”大人解答已知圆C过点P（1,1）且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.判断圆C与圆M的位置关系,并说明理由2：过点P作2条相异直线分别与圆C相交于A,B第一小问：若直线PA和直线PB 互相垂直,求PA+PB最大值第二小问：若PA和直线PB 与X轴分别交于G.H,且角PGH=角PHG,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?说明理由
2019-05-23
高一数学较难一道方程题·希望“我不是他舅”大人解答
已知圆C过点P（1,1）且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
判断圆C与圆M的位置关系,并说明理由
2：过点P作2条相异直线分别与圆C相交于A,B
第一小问：若直线PA和直线PB 互相垂直,求PA+PB最大值
第二小问：若PA和直线PB 与X轴分别交于G.H,且角PGH=角PHG,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?说明理由
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圆C过点P（1,1）且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称,则点P（1,1）关于直线x+y+2=0对称的点P'(-3,-3)在圆M上.
将P'(-3,-3)坐标代入圆M得:1+1=r^2;则r=√2.
而圆M的圆心(-2,-2)到直线x+y+2=0的距离d=|-2-2+2|/√2=√2=r,则说明圆M与直线x+y+2=0相切;
由于圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称,则圆C与直线x+y+2=0相切;且切于同一点.
由此可知,圆C与圆M相切于点(-1,-1).
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1)
设PA=a;PB=b;
PA和直线PB 互相垂直,即∠APB=90°,则AB一定是⊙C的直径.
则a^2+b^2=(2r)^2=8.
则(a+b)^2=8+2ab.
而ab/2为△APB的面积;易知:若以AB为底,则当RT△APB的面积最大时,高为其外接圆即⊙C的半径r=√2.
则可知ab/2≤(1/2)*(2r*r)=r^2=2.
则(a+b)^2≤8+2=10;
a+b≤√10;
即PA+PB最大值为√10.
2)
显然不平行:O(0,0),P（1,1） OP与x轴成45度角;而AB就在x轴上,他们之间成45度角..
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圆C过点P（1,1）且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称,则点P（1,1）关于直线x+y+2=0对称的点P'(-3,-3)在圆M上.
将P'(-3,-3)坐标代入圆M得:1+1=r^2;则r=√2.
而圆M的圆心(-2,-2)到直线x+y+2=0的距离d=|-2-2+2|/√2=√2=r,则说明圆M与直线x+y+2=0相切;
由于圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称,则圆C与直线x+y+2=0相切;且切于同一点.
由此可知,圆C与圆M相切于点(-1,-1).
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1)
设PA=a;PB=b;
PA和直线PB 互相垂直,即∠APB=90°,则AB一定是⊙C的直径.
则a^2+b^2=(2r)^2=8.
则(a+b)^2=8+2ab.
而ab/2为△APB的面积;易知:若以AB为底,则当RT△APB的面积最大时,高为其外接圆即⊙C的半径r=√2.
则可知ab/2≤(1/2)*(2r*r)=r^2=2.
则(a+b)^2≤8+2=10;
a+b≤√10;
即PA+PB最大值为√10.
2)
显然不平行:O(0,0),P（1,1） OP与x轴成45度角;而AB就在x轴上,他们之间成45度角..