函数应用题的解题技巧是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题,充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透.下面就函数应用题的类型及解法举例分析.
一． 函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7,问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子）,能使完成全部任务最快?
分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想,建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程的观点去解,使应用问题化生为熟,尽快得到解决.
设x个木匠制课桌,（30-x）个木匠制椅子,一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为函数,制作200把椅子所需时间为函数 ,完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x）,Q（x）}
要求的y（x）的最小值,需满足P（x）=Q（x）,即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）=
Q（13）= 即y（12）>y（13）,
所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快.
二．函数模型为一次函数问题
例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社.在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?
分析：此题主要在于分析题目中的条件,建立合适的关系式,应用函数的性质去解决问题,并考虑在定义域内的局限性与实际意义.如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额.而卖报所得的金额分三部分.从而可列出函数解析式.
设每天应从报社买x份,可的250≦x≦400,设每月赚y元,得
y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1050 x∈[250,400]
因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)
答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大,每月可赚得1070元.
三．函数模型为一二次函数问题
例3：有（m）长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等矩形组成的矩形,试问小矩形的长宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并算出窗框的最大值.
分析：应用数学知识解决应用型问题,是提高数学素质的训练内容之一,教材中也多出出现,对于此题的分析要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当的构造出函数,应用函数的具体性质去解决问题.本题中面积为两部分够成,而面积就为窗所通过的光线,从而可列出函数解析式进一步解出题目.
设小矩形的长为x, 宽y为 ,则由图形可得：
11x+x+9y= ∴9y=-(11+)x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则
S==+[x-(11+)x2]
=-(x-+.
所以当x= , y=
即=1：1 此时窗框的面积s有最大值S=
四．函数模型为其他函数问题
例4：有甲乙两种商品,销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元）,他们与投入资金Q（万元）的关系,有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品,为获得的利润最大,对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得最大的利润是多少?
分析：首先应根据题意,建立利润与资金之间的函数关系,求的函数解析式,然后再转化为求函数的最大值问题.求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化.
设对甲种商品投资x万元,则乙种商品投资（3-x）万元,总利润y万元,据题意有：
Y= （ 0≦x≦3 ）
设=t 则x=3-t2, 0≦x≦
所以 y= 0≦x≦
当x=时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25
由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元
总之,函数的应用是数学思想的体现,是应用数学知识解决实际问题的有效途经.如果我们学好了这部分,在具体的题目中会分析题目,找出关系量之间的联系,建立适当的函数关系式,把实际问题转化为数学模型,然后利用初等函数的性质,去解决问题.使抽象问题数学化,化生为熟. 函数应用题的解题技巧是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题,充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透.下面就函数应用题的类型及解法举例分析.
一． 函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7,问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子）,能使完成全部任务最快?
分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想,建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程的观点去解,使应用问题化生为熟,尽快得到解决.
设x个木匠制课桌,（30-x）个木匠制椅子,一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为函数,制作200把椅子所需时间为函数 ,完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x）,Q（x）}
要求的y（x）的最小值,需满足P（x）=Q（x）,即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）=
Q（13）= 即y（12）>y（13）,
所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快.
二．函数模型为一次函数问题
例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社.在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?
分析：此题主要在于分析题目中的条件,建立合适的关系式,应用函数的性质去解决问题,并考虑在定义域内的局限性与实际意义.如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额.而卖报所得的金额分三部分.从而可列出函数解析式.
设每天应从报社买x份,可的250≦x≦400,设每月赚y元,得
y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1050 x∈[250,400]
因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)
答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大,每月可赚得1070元.
三．函数模型为一二次函数问题
例3：有（m）长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等矩形组成的矩形,试问小矩形的长宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并算出窗框的最大值.
分析：应用数学知识解决应用型问题,是提高数学素质的训练内容之一,教材中也多出出现,对于此题的分析要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当的构造出函数,应用函数的具体性质去解决问题.本题中面积为两部分够成,而面积就为窗所通过的光线,从而可列出函数解析式进一步解出题目.
设小矩形的长为x, 宽y为 ,则由图形可得：
11x+x+9y= ∴9y=-(11+)x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则
S==+[x-(11+)x2]
=-(x-+.
所以当x= , y=
即=1：1 此时窗框的面积s有最大值S=
四．函数模型为其他函数问题
例4：有甲乙两种商品,销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元）,他们与投入资金Q（万元）的关系,有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品,为获得的利润最大,对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得最大的利润是多少?
分析：首先应根据题意,建立利润与资金之间的函数关系,求的函数解析式,然后再转化为求函数的最大值问题.求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化.
设对甲种商品投资x万元,则乙种商品投资（3-x）万元,总利润y万元,据题意有：
Y= （ 0≦x≦3 ）
设=t 则x=3-t2, 0≦x≦
所以 y= 0≦x≦
当x=时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25
由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元
总之,函数的应用是数学思想的体现,是应用数学知识解决实际问题的有效途经.如果我们学好了这部分,在具体的题目中会分析题目,找出关系量之间的联系,建立适当的函数关系式,把实际问题转化为数学模型,然后利用初等函数的性质,去解决问题.使抽象问题数学化,化生为熟.