高中数学 参数方程在平面直角坐标系xOy中,动圆x^2+y^2-4√2xcosθ-4ysinθ+7(cosθ)^2-8=0(θ属于R)的圆心轨迹为E,P(x,y)为轨迹E上的任意一点.(1)求2x-y的取值范围(2)若点过P(-1,0)且倾斜角为30°的直线l与轨迹E相交与A,B两点,求线段AB的长.√表示根号
2019-05-30
高中数学 参数方程
在平面直角坐标系xOy中,动圆x^2+y^2-4√2xcosθ-4ysinθ+7(cosθ)^2-8=0(θ属于R)的圆心轨迹为E,P(x,y)为轨迹E上的任意一点.
(1)求2x-y的取值范围
(2)若点过P(-1,0)且倾斜角为30°的直线l与轨迹E相交与A,B两点,求线段AB的长.
√表示根号
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【解】：
x^2+y^2-4√2xcosθ-4ysinθ+7(cosθ)^2-8=0(θ属于R)
(x-2√2cosθ)^2+(y-2sinθ)^2=(cosθ)^2+4(sinθ)^2+8=9+3(sinθ)^2
圆心坐标：x[E]=2√2cosθ；y[E]=2sinθ
则：x[E]^2+2y[E]^2=8
所以E的轨迹方程为：x^2/8+y^2/4=1
P(x,y)为轨迹E上的任意一点,
2x-y=4√2cosθ-2sinθ=6(2√2cosθ/3-sinθ/3)
则：-6≤2x-y≤6
过P(-1,0)且倾斜角为30°的直线l的方程为：y=√3x/3+√3/3
联立E的轨迹方程得：
x^2+2*(√3x/3+√3/3)^2=8
5x^2+4x-22=0
x[A]+x[B]=-4/5
x[A]*x[B]=-22/5
(x[A]-x[B])^2=(x[A]+x[B])^2-4*x[A]*x[B]=16/25+88/5=456/25
(y[A]-y[B])^2=(√3/3)^2*(x[A]-x[B])^2=456/75
AB^2=456/25+456/75=1824/75
得：AB=4√38/5
【解】：
x^2+y^2-4√2xcosθ-4ysinθ+7(cosθ)^2-8=0(θ属于R)
(x-2√2cosθ)^2+(y-2sinθ)^2=(cosθ)^2+4(sinθ)^2+8=9+3(sinθ)^2
圆心坐标：x[E]=2√2cosθ；y[E]=2sinθ
则：x[E]^2+2y[E]^2=8
所以E的轨迹方程为：x^2/8+y^2/4=1
P(x,y)为轨迹E上的任意一点,
2x-y=4√2cosθ-2sinθ=6(2√2cosθ/3-sinθ/3)
则：-6≤2x-y≤6
过P(-1,0)且倾斜角为30°的直线l的方程为：y=√3x/3+√3/3
联立E的轨迹方程得：
x^2+2*(√3x/3+√3/3)^2=8
5x^2+4x-22=0
x[A]+x[B]=-4/5
x[A]*x[B]=-22/5
(x[A]-x[B])^2=(x[A]+x[B])^2-4*x[A]*x[B]=16/25+88/5=456/25
(y[A]-y[B])^2=(√3/3)^2*(x[A]-x[B])^2=456/75
AB^2=456/25+456/75=1824/75
得：AB=4√38/5