数学
我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．   （1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求ξ的分布列与数学期望．

2019-06-25

我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．   
（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求ξ的分布列与数学期望．
优质解答
（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，故共有5×5×5=125（种）．
三名学生选择三门不同社团的概率为：
A
3
5
53
=
12
25
．
∴三名学生中至少有两人选修同一社团的概率为：1-
12
25
=
13
25
．
（2）由题意：ξ=0，1，2，3
甲、乙、丙这三个学生每人参加A或B社团的概率都是
2
5
，所以ξ～B(3，
2
5
)…（10分）
P（ξ=0）=
C
0
3
×(
3
5
)3=
27
125
；P（ξ=1）=
C
1
3
×(
3
5
)2×
2
5
=
54
125
；
P（ξ=2）=
C
2
3
×(
2
5
)2×
3
5
=
36
125
；P（ξ=3）=
C
3
3
×(
2
5
)3=
8
125
；
ξ的分布列为
 ξ  0  1  2  3
 P  
27
125
  
54
125
  
36
125
  
8
125
数学期望Eξ＝1×
54
125
+2×
36
125
+3×（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，故共有5×5×5=125（种）．
三名学生选择三门不同社团的概率为：
A
3
5
53
=
12
25
．
∴三名学生中至少有两人选修同一社团的概率为：1-
12
25
=
13
25
．
（2）由题意：ξ=0，1，2，3
甲、乙、丙这三个学生每人参加A或B社团的概率都是
2
5
，所以ξ～B(3，
2
5
)…（10分）
P（ξ=0）=
C
0
3
×(
3
5
)3=
27
125
；P（ξ=1）=
C
1
3
×(
3
5
)2×
2
5
=
54
125
；
P（ξ=2）=
C
2
3
×(
2
5
)2×
3
5
=
36
125
；P（ξ=3）=
C
3
3
×(
2
5
)3=
8
125
；
ξ的分布列为
 ξ  0  1  2  3
 P  
27
125
  
54
125
  
36
125
  
8
125
数学期望Eξ＝1×
54
125
+2×
36
125
+3×
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