必要性：任取E={x|f(x)≥c}中收敛数列{xn}
设xn->x,∵xn∈[a,b],∴x∈[a,b]
∴由f(x)连续,可知f(xn)->f(x)
则f(x)=lim{n->∞}f(xn)≥lim{n->∞}c=c
∴x∈E,即E是闭集,E={x|f(x)≤c}时同理
充分性：考虑任意一点t∈[a,b],则对任意ε>0
A={x∈[a,b]:f(t)-ε={x∈[a,b]:f(x)≥f(t)+ε}的补集∩{x∈[a,b]:f(x)≤f(t)-ε}的补集
即A为两个开集的交,所以A为开集.而显然有t∈A
∴存在δ>0,使得(t-δ,t+δ)∩[a,b]包含于A,即
对任意x∈(t-δ,t+δ)∩[a,b],有|f(x)-f(t)|<ε
∴f(x)在t点连续,即f(x)在[a,b]上连续 必要性：任取E={x|f(x)≥c}中收敛数列{xn}
设xn->x,∵xn∈[a,b],∴x∈[a,b]
∴由f(x)连续,可知f(xn)->f(x)
则f(x)=lim{n->∞}f(xn)≥lim{n->∞}c=c
∴x∈E,即E是闭集,E={x|f(x)≤c}时同理
充分性：考虑任意一点t∈[a,b],则对任意ε>0
A={x∈[a,b]:f(t)-ε={x∈[a,b]:f(x)≥f(t)+ε}的补集∩{x∈[a,b]:f(x)≤f(t)-ε}的补集
即A为两个开集的交,所以A为开集.而显然有t∈A
∴存在δ>0,使得(t-δ,t+δ)∩[a,b]包含于A,即
对任意x∈(t-δ,t+δ)∩[a,b],有|f(x)-f(t)|<ε
∴f(x)在t点连续,即f(x)在[a,b]上连续