设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^1/2>(x^3+y^3)1/3 (1)用分析法证；（2）用综合法证
2019-12-16
设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^1/2>(x^3+y^3)1/3 (1)用分析法证；（2）用综合法证
优质解答
证明：
分析法
要证x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3
只需证(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2
即证3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3
即3(x^2+y^2)＞2xy
∵x>0,y>0,3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy成立
综合法：倒过来书写
∵x>0,y>0,
∴3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy
则3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3
∴(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2
∴x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3
证明：
分析法
要证x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3
只需证(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2
即证3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3
即3(x^2+y^2)＞2xy
∵x>0,y>0,3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy成立
综合法：倒过来书写
∵x>0,y>0,
∴3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy
则3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3
∴(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2
∴x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3