根据数列极限定义证明lim┬(n→∞)√(1+a^2/n^2 )=1从文字上说明就是证明当n趋近于无穷大时，函数根号下1加n的平方分之a的平方(n为正整数，a为常数)的极限等于1
2019-06-02
根据数列极限定义证明
lim┬(n→∞)√(1+a^2/n^2 )=1
从文字上说明就是证明当n趋近于无穷大时，函数根号下1加n的平方分之a的平方(n为正整数，a为常数)的极限等于1
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设a≠0
|xn－a|＝|√(1+a^2/n^2 )－1|≤a^2/n^2
对于任意的正数ε,要使得|xn－a|＜ε,只要a^2/n^2＜ε,即n＞|a|/√ε,取正整数N＞a/√ε,则当n＞N时,|xn－a|＝|√(1+a^2/n^2 )－1|＜ε.
所以,lim(n→∞) √(1+a^2/n^2 )＝1.
设a≠0
|xn－a|＝|√(1+a^2/n^2 )－1|≤a^2/n^2
对于任意的正数ε,要使得|xn－a|＜ε,只要a^2/n^2＜ε,即n＞|a|/√ε,取正整数N＞a/√ε,则当n＞N时,|xn－a|＝|√(1+a^2/n^2 )－1|＜ε.
所以,lim(n→∞) √(1+a^2/n^2 )＝1.