设正整数数列an的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an)猜想出an并用数学归纳法证明 快
2019-04-14
设正整数数列an的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an)猜想出an并用数学归纳法证明
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优质解答
令n=1,带入Sn=1/2(an+1/an)得,S1=1/2(a1+1/a1)=a1,解得a1=1
继续令n=2,n=3可得a2=（√2）-1,a3=（√3）-（√2）
猜想：an=（√n）-（√n-1）
n=1时,a1=（√1）-（√0）=1 ,成立
n=k时,ak=（√k）-（√k-1）
n=k+1时,S(k+1)=1/2(a(k+1)+1/a(k+1))=Sk+a(k+1)=1/2(ak+1/ak)+a(k+1)
将ak=（√k）-（√k-1）带入,可解得a（k+1）=（√k+1）-（√k）
由以上可知：an=（√n）-（√n-1）
令n=1,带入Sn=1/2(an+1/an)得,S1=1/2(a1+1/a1)=a1,解得a1=1
继续令n=2,n=3可得a2=（√2）-1,a3=（√3）-（√2）
猜想：an=（√n）-（√n-1）
n=1时,a1=（√1）-（√0）=1 ,成立
n=k时,ak=（√k）-（√k-1）
n=k+1时,S(k+1)=1/2(a(k+1)+1/a(k+1))=Sk+a(k+1)=1/2(ak+1/ak)+a(k+1)
将ak=（√k）-（√k-1）带入,可解得a（k+1）=（√k+1）-（√k）
由以上可知：an=（√n）-（√n-1）