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已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

2019-04-14

已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
优质解答
（1）计算得a1＝
1
2
；a2＝
1
6
；a3＝
1
12
；a4＝
1
20
．
（2）猜测：an＝
1
n(n+1)
．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，
即ak＝
1
k(k+1)
．
那么，当n=k+1时，Sk+1=1-（k+1）ak+1，
即Sk+ak+1=1-（k+1）ak+1．
又Sk＝1−kak＝
k
k+1
，
所以
k
k+1
+ak+1＝1−(k+1)ak+1，
从而ak+1＝
1
(k+1)(k+2)
＝
1
(k+1)[(k+1)+1]
．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立． （1）计算得a1＝
1
2
；a2＝
1
6
；a3＝
1
12
；a4＝
1
20
．
（2）猜测：an＝
1
n(n+1)
．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，
即ak＝
1
k(k+1)
．
那么，当n=k+1时，Sk+1=1-（k+1）ak+1，
即Sk+ak+1=1-（k+1）ak+1．
又Sk＝1−kak＝
k
k+1
，
所以
k
k+1
+ak+1＝1−(k+1)ak+1，
从而ak+1＝
1
(k+1)(k+2)
＝
1
(k+1)[(k+1)+1]
．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
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