数学
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° (Ⅰ)若PB=12,求PA;(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA.

2019-04-22

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=
3
,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

(Ⅰ)若PB=
1
2
,求PA;
(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
优质解答
(I)在Rt△PBC中,cos∠PBC=
PB
BC
=
1
2
,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB•ABcos30°=(
1
2
)2+(
3
)2-2×
1
2
×
3
×
3
2
=
7
4

∴PA=
7
2

(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°-α)=sinα.
在△PBA中,由正弦定理得
AB
sin∠APB
=
PB
sin∠PAB
,即
3
sin150°
=
sinα
sin(30°-α)

化为
3
cosα=4sinα
.∴tanα=
3
4
(I)在Rt△PBC中,cos∠PBC=
PB
BC
=
1
2
,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB•ABcos30°=(
1
2
)2+(
3
)2-2×
1
2
×
3
×
3
2
=
7
4

∴PA=
7
2

(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°-α)=sinα.
在△PBA中,由正弦定理得
AB
sin∠APB
=
PB
sin∠PAB
,即
3
sin150°
=
sinα
sin(30°-α)

化为
3
cosα=4sinα
.∴tanα=
3
4
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