（2014•淄博二模）已知函数f（x）=（1-x）ex-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=ex+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；（Ⅲ）证明：1en+1+1en+2+1en+3+…+1e2n＜n+ln2（n∈N*）．
2019-04-29
（2014•淄博二模）已知函数f（x）=（1-x）ex-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=ex+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；
（Ⅲ）证明：+++…+＜n+ln2（n∈N*）．
优质解答
解；（Ⅰ）f′（x）=-xex，
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=ex-=，
令h（x）=（1-x）ex-λ，
∴h′（x）=-xex，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）ex-λ＞0的区间（0，x0），
则g（x）在（0，x0）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e0-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，ex＜1-ln（1-x），
将x=，，…，代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，
得：+++…+＜n+ln2．
解；（Ⅰ）f′（x）=-xex，
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=ex-=，
令h（x）=（1-x）ex-λ，
∴h′（x）=-xex，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）ex-λ＞0的区间（0，x0），
则g（x）在（0，x0）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e0-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，ex＜1-ln（1-x），
将x=，，…，代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，
得：+++…+＜n+ln2．