精选问答
设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=1  0 00  1  00  0  2，若P=（α1，α2，α3），Q=（α1+α2，α2，α3），则QTAQ为（　　）A．2  1 01  1 00  0 2B．1  1 01  2 00&n

2019-04-13

设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=
1  0 0
0  1  0
0  0  2
，若P=（
α1
，
α2
，
α3
），Q=（
α1
+
α2
，
α2
，
α3
），则QTAQ为（　　）

A．
2  1 0
1  1 0
0  0 2

B．
1  1 0
1  2 0
0  0 2

C．
2  0 0
0  1 0
0  0 2

D．
1  0 0
0  2 0
0  0 2
优质解答

∵P=（
α1
，
α2
，
α3
），Q=（
α1
+
α2
，
α2
，
α3
），
∴Q＝(
α1
，
α2
，
α3
)
100
110
001
＝(
α1
，
α2
，
α3
)E3(2，1(1))＝PE3(2，1(1))，
其中E3（2，1（1））是表示三阶单位矩阵E3做第1行加到第2行的初等行变换得到的初等矩阵，
于是：
QTAQ＝[PE3(2，1(1))]TA[PE3(2，1(1))]＝
E
T
3
(2，1(1))[PTAP]E3(2，1(1))
=
110
010
001
100
010
002
100
110
001
=
210
110
002
．
故选：A．
∵P=（
α1
，
α2
，
α3
），Q=（
α1
+
α2
，
α2
，
α3
），
∴Q＝(
α1
，
α2
，
α3
)
100
110
001
＝(
α1
，
α2
，
α3
)E3(2，1(1))＝PE3(2，1(1))，
其中E3（2，1（1））是表示三阶单位矩阵E3做第1行加到第2行的初等行变换得到的初等矩阵，
于是：
QTAQ＝[PE3(2，1(1))]TA[PE3(2，1(1))]＝
E
T
3
(2，1(1))[PTAP]E3(2，1(1))
=
110
010
001
100
010
002
100
110
001
=
210
110
002
．
故选：A．
相关标签： 矩阵
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