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（2014•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D-AF-C为45°，求CE的长．

2019-04-29

（2014•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）若二面角D-AF-C为45°，求CE的长．
优质解答
（Ⅰ）证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3
所以AB2=AC2+BC2，
由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．  …（2分）
又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD
所以BC⊥EC．                                   …（4分）
又因为AC∩EC=C，
所以BC⊥平面ACEF，
又AF⊂平面ACEF
所以BC⊥AF．                                   …（6分）
（Ⅱ）因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz．
设CE=h，则C（0，0，0），A(
3
，0，0)，F(
3
2
，0，h)，D(
3
2
，−
1
2
，0)，
所以
AD
＝(−
3
2
，−
1
2
，0)，
AF
＝(−
（Ⅰ）证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3
所以AB2=AC2+BC2，
由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．  …（2分）
又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD
所以BC⊥EC．                                   …（4分）
又因为AC∩EC=C，
所以BC⊥平面ACEF，
又AF⊂平面ACEF
所以BC⊥AF．                                   …（6分）
（Ⅱ）因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz．
设CE=h，则C（0，0，0），A(
3
，0，0)，F(
3
2
，0，h)，D(
3
2
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1
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所以
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