2、y=(sinx)^8 + (cosx)^8
= (sinx)^8 - 2 sin⁴x cos⁴x + (cosx)^8 + 2sin⁴x cos⁴x
= (sin⁴x - cos⁴x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= [(sin²x+cos²x)(sin²x - cos²x)]² + 2sin⁴xcos⁴x
= (sin²x - cos²x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x)
= 1/8 sin⁴(2x) - sin²(2x) + 1
令t = sin²(2x) = [1-cos(4x)] / 2,0≤t≤1
周期 T= π/2
易得f(x)在t∈[0,1]是减函数
∴t=1时取最小值1/8,t= 0时取最大值 1
t= [1-cos(4x)] / 2的增区间（kπ/2,π/8 + kπ/2）k∈Z,即是 f(x) 的减区间
t= [1-cos(4x)] / 2 的减区间（-π/8 + kπ/2,kπ/2）k∈Z,即是f(x)的增区间
1、
y = (sinx)^10 + (cosx)^10
= (sinx)^8 (1-cos²x) + (cosx)^8 (1-sin²x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [ (sinx)^6 + (cosx)^6 ]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (sin²x+cos²x)(sin⁴x - sin²xcos²x +cos⁴x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [(sin²x +cos²x)² - 3sin²xcos²x]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (1- 3sin²xcos²x)
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) [1 - 3/4 sin²(2x)]
= 1 - sin²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) + 3/16 sin⁴(2x)
= 5/16 sin⁴(2x) - 5/4 sin²(2x) +1
同上可得 最大值1,最小值 1/16
周期T= π/2
增区间（-π/8 + kπ/2,kπ/2）k∈Z
减区间（kπ/2,π/8 + kπ/2）k∈Z
【小结】目标就是降次,凑出 sin²x + cos²x 可达到化简目的.
【探究】我们很容易求得
y=sin⁴x + cos⁴x 的周期为π/2,最大值1最小值1/2
y=(sinx)^6 + (cosx)^6 的周期为π/2,最大值1最小值1/4
由此猜想 y=(sinx)^(2n) + (cosx)^2n 周期π/2,最大值1最小值 1/2^(n-1)
且他们具有和y=cos4x 相同的单调区间 2、y=(sinx)^8 + (cosx)^8
= (sinx)^8 - 2 sin⁴x cos⁴x + (cosx)^8 + 2sin⁴x cos⁴x
= (sin⁴x - cos⁴x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= [(sin²x+cos²x)(sin²x - cos²x)]² + 2sin⁴xcos⁴x
= (sin²x - cos²x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x)
= 1/8 sin⁴(2x) - sin²(2x) + 1
令t = sin²(2x) = [1-cos(4x)] / 2,0≤t≤1
周期 T= π/2
易得f(x)在t∈[0,1]是减函数
∴t=1时取最小值1/8,t= 0时取最大值 1
t= [1-cos(4x)] / 2的增区间（kπ/2,π/8 + kπ/2）k∈Z,即是 f(x) 的减区间
t= [1-cos(4x)] / 2 的减区间（-π/8 + kπ/2,kπ/2）k∈Z,即是f(x)的增区间
1、
y = (sinx)^10 + (cosx)^10
= (sinx)^8 (1-cos²x) + (cosx)^8 (1-sin²x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [ (sinx)^6 + (cosx)^6 ]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (sin²x+cos²x)(sin⁴x - sin²xcos²x +cos⁴x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [(sin²x +cos²x)² - 3sin²xcos²x]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (1- 3sin²xcos²x)
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) [1 - 3/4 sin²(2x)]
= 1 - sin²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) + 3/16 sin⁴(2x)
= 5/16 sin⁴(2x) - 5/4 sin²(2x) +1
同上可得 最大值1,最小值 1/16
周期T= π/2
增区间（-π/8 + kπ/2,kπ/2）k∈Z
减区间（kπ/2,π/8 + kπ/2）k∈Z
【小结】目标就是降次,凑出 sin²x + cos²x 可达到化简目的.
【探究】我们很容易求得
y=sin⁴x + cos⁴x 的周期为π/2,最大值1最小值1/2
y=(sinx)^6 + (cosx)^6 的周期为π/2,最大值1最小值1/4
由此猜想 y=(sinx)^(2n) + (cosx)^2n 周期π/2,最大值1最小值 1/2^(n-1)
且他们具有和y=cos4x 相同的单调区间