优质解答
（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0,x∈（-∞,1],n≥2,
即a＞-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x],x∈(-∞,1],∵-(
kn
)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上都是增函数,∴-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x]在（-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值-(
1n
+
2n
+…
n-1n
)=-
12n(n-1)n
=-
12
(n-1)．所以a＞-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x],x∈(-∞,1],∵-(
kn
)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]等价于a≥-
12
(n-1),故a的取值范围是{a|a≥-
12
(n-1)}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时,[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],a∈（0,1],x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],a∈（0,1],
当0＜a＜1,x≠0时,因a2＜a,所以有
[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],即有2f（x）＜f（2x）a∈（0,1],x≠0．
（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0,x∈（-∞,1],n≥2,
即a＞-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x],x∈(-∞,1],∵-(
kn
)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上都是增函数,∴-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x]在（-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值-(
1n
+
2n
+…
n-1n
)=-
12n(n-1)n
=-
12
(n-1)．所以a＞-[(
1n
)x+(
2n
)x+…(
n-1n
)x],x∈(-∞,1],∵-(
kn
)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]等价于a≥-
12
(n-1),故a的取值范围是{a|a≥-
12
(n-1)}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时,[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],a∈（0,1],x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],a∈（0,1],
当0＜a＜1,x≠0时,因a2＜a,所以有
[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa],即有2f（x）＜f（2x）a∈（0,1],x≠0．