高等数学题一道设映射f:X→Y,A属于X.记f(A)的原像为f-1（f(A)）,证明：（1）A属于f-1（f(A)）（2）当f是单射时,有f-1（f(A)）=A
2019-04-14
高等数学题一道
设映射f:X→Y,A属于X.记f(A)的原像为f-1（f(A)）,证明：
（1）A属于f-1（f(A)）
（2）当f是单射时,有f-1（f(A)）=A
优质解答
1、设x∈A,则f(x)∈f(A),所以x∈f-1（f(A)）.所以集合A包含于f-1（f(A)）.
2、只要证明f-1（f(A)）也包含于A即可.
设z∈f-1（f(A)）,则f(z)∈f(A),所以存在x∈A,使得f(z)＝f(x).因为f是单射,由f(z)＝f(x)得z＝x,所以z∈A.所以f-1（f(A)）包含于A.
由A包含于f-1（f(A)）,f-1（f(A)）包含于A 得f-1（f(A)）=A.
1、设x∈A,则f(x)∈f(A),所以x∈f-1（f(A)）.所以集合A包含于f-1（f(A)）.
2、只要证明f-1（f(A)）也包含于A即可.
设z∈f-1（f(A)）,则f(z)∈f(A),所以存在x∈A,使得f(z)＝f(x).因为f是单射,由f(z)＝f(x)得z＝x,所以z∈A.所以f-1（f(A)）包含于A.
由A包含于f-1（f(A)）,f-1（f(A)）包含于A 得f-1（f(A)）=A.