为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.1000.0500.010
2019-05-04
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．
| P（K2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附：K2=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
．
优质解答
（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
| 优分 | 非优分 | 总计 |
| 男生 | 9 | 21 | 30 |
| 女生 | 11 | 9 | 20 |
| 总计 | 20 | 30 | 50 |
假设H0：该学科成绩与性别无关，
则K2的观测值k=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
=| 50×(9×9-11×21)2 |
| 20×30×20×30 |
=3.125，
因为3.125>2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=×0.42×0.6+×0.43
=0.352．
（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
| 优分 | 非优分 | 总计 |
| 男生 | 9 | 21 | 30 |
| 女生 | 11 | 9 | 20 |
| 总计 | 20 | 30 | 50 |
假设H0：该学科成绩与性别无关，
则K2的观测值k=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
=| 50×(9×9-11×21)2 |
| 20×30×20×30 |
=3.125，
因为3.125>2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=×0.42×0.6+×0.43
=0.352．