数学
如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．

2019-05-03

如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______．
优质解答
如图，连接DE．
设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=
2
2
x，CE=
2
2
（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=
1
2
x2+
1
2
（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．
故答案为：1． 如图，连接DE．
设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=
2
2
x，CE=
2
2
（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=
1
2
x2+
1
2
（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．
故答案为：1．
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