数学
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，因此正方形是四边相等，四角相等的四边形．初二数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ（2）如图②，小聪在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使

2019-06-02

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，因此正方形是四边相等，四角相等的四边形．
初二数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ
（2）如图②，小聪在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小聪算出△DEP的面积．
作业帮
优质解答
证明：（1）∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，
∠DAP=∠DCQ=90°
AD=CD
∠ADP=∠CDQ

∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜测：PE=QE．
证明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中，
DP=DQ
∠PDE=∠QDE=45°
DE=DE

∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3） ∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，
即：22+（14-x）2=x2，
解得：x=
50
7
，即QE=
50
7
．
∴S△DEQ=
1
2
QE•CD=
1
2
×
50
7
×6=
150
7
．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP=S△DEQ=
150
7
． 证明：（1）∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，
∠DAP=∠DCQ=90°
AD=CD
∠ADP=∠CDQ

∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜测：PE=QE．
证明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中，
DP=DQ
∠PDE=∠QDE=45°
DE=DE

∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3） ∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，
即：22+（14-x）2=x2，
解得：x=
50
7
，即QE=
50
7
．
∴S△DEQ=
1
2
QE•CD=
1
2
×
50
7
×6=
150
7
．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP=S△DEQ=
150
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