我们先证明一个重要结论——复数根总是成对出现的,如果复数z是一个三次方程的根,则z的共轭也是方程的一个根,共轭用符号conjg(z)表示.
证明,设复数z是一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根.
则有az^3+bz^2+cz+d=0
上式两边进行共轭运算：
上式左边=conjg(az^3+bz^2+cz+d)=conjg(az^3)+conjg(bz^2)+conjg(cz)+conjg(d),我们知道,由共轭运算的运算性质,和差积商的共轭都等于共轭的和差积商,实数的共轭是本身,
所以conjg(az^3+bz^2+cz+d)=conjg(az^3)+conjg(bz^2)+conjg(cz)+conjg(d)=a(conjg(z))^3+b(conjg(z))^2+c*conjg(z)+d
右边为0的共轭,还是0.
所以我们得到a(conjg(z))^3+b(conjg(z))^2+c*conjg(z)+d=0
即conjg(z)也是一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的一个根,所以证明了这个重要结论.
所以,一个方程如果有复根,则必须有偶数个复数根,而三次方程在复数域上有且仅有三个根,所以这三个根中只可能没有复根或者两个是复数根.否则都不符合三次方程在复数域上有且仅有三个根这个条件.于是我们甚至可以断定奇次方程必有实根. 我们先证明一个重要结论——复数根总是成对出现的,如果复数z是一个三次方程的根,则z的共轭也是方程的一个根,共轭用符号conjg(z)表示.
证明,设复数z是一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根.
则有az^3+bz^2+cz+d=0
上式两边进行共轭运算：
上式左边=conjg(az^3+bz^2+cz+d)=conjg(az^3)+conjg(bz^2)+conjg(cz)+conjg(d),我们知道,由共轭运算的运算性质,和差积商的共轭都等于共轭的和差积商,实数的共轭是本身,
所以conjg(az^3+bz^2+cz+d)=conjg(az^3)+conjg(bz^2)+conjg(cz)+conjg(d)=a(conjg(z))^3+b(conjg(z))^2+c*conjg(z)+d
右边为0的共轭,还是0.
所以我们得到a(conjg(z))^3+b(conjg(z))^2+c*conjg(z)+d=0
即conjg(z)也是一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的一个根,所以证明了这个重要结论.
所以,一个方程如果有复根,则必须有偶数个复数根,而三次方程在复数域上有且仅有三个根,所以这三个根中只可能没有复根或者两个是复数根.否则都不符合三次方程在复数域上有且仅有三个根这个条件.于是我们甚至可以断定奇次方程必有实根.