高等数学同济版 16页例题疑问设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）利用(1)、（2）式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明：g(x)=[f(x)+f(-x)]/2h(x)=[f(x)-f(-x)]/2则 g(x
2019-05-30
高等数学同济版 16页例题疑问
设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).
书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）
利用(1)、（2）式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明：
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x),
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
证毕.
以上是书上的原文.
我的问题“则”字后面的结论是否是用g(x)=[f(x)+f(-x)]/2与h(x)=[f(x)-f(-x)]/2相加得出?而g(x)=[f(x)+f(-x)]/2由式子（1）+式子（2）得到,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2由式子（1）-式子（2）得到,那岂不是“则”字后面的结论是用（1）+（2）+（1）-（2）=（1）+（1）得出?相当于在假设基础上乘以2,就得出结论了.真心看不懂!
优质解答
第五行“利用(1)、（2）式,可以做出.做如下证明”以前都是思维过程,是告诉你下面
的证明方式是怎么想出来的,如果懂了,就可以不用管它了.真正的证明是下面的文字：
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2.①
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.②
①+②即得 g(x)+h(x)=f(x)；
其中：
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)是偶函数；
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)是奇函数.
第五行“利用(1)、（2）式,可以做出.做如下证明”以前都是思维过程,是告诉你下面
的证明方式是怎么想出来的,如果懂了,就可以不用管它了.真正的证明是下面的文字：
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2.①
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.②
①+②即得 g(x)+h(x)=f(x)；
其中：
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)是偶函数；
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)是奇函数.