数学
将完全相同的3个球随机地放入1,2,3号盒子中(每盒放球数不限),求:(1)3个球放入同一个盒子的概率;(2)3个盒子中都有球的概率;(3)至少有一个盒子没球的概率;(4)恰有一个盒子没有球的概率.
2019-05-29
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将完全相同的3个球随机地放入1,2,3号盒子中(每盒放球数不限),求:
(1)3个球放入同一个盒子的概率;
(2)3个盒子中都有球的概率;
(3)至少有一个盒子没球的概率;
(4)恰有一个盒子没有球的概率.
优质解答
由分步乘法原理可知,将完全相同的3个球随机地放入1,2,3号盒子中,共有3
3
=27种放法,每种放法是等可能的.
(1)记“3个球放入同一个盒子的概率”为事件A.
3个球放入同一个盒子的放法有3种:3个球放入1号盒子,或2号盒子,或3号盒子.
故
P(A)=
3
27
=
1
9
.
(2)记“3个球放入3个盒子,每个盒子中都有球”为事件B.
3个球放入3个盒子,每个盒子中都有球,等价于每个盒子只放1个球,有
A
3
3
=6种方法.
故
P(B)=
6
27
=
2
9
.
(3)记“3个球放入3个盒子,至少有一个盒子没球”为事件C.
因为事件C是事件B的对立事件,所以
P(C)=1−P(B)=1−
2
9
=
7
9
.
(Ⅳ)记“3个球放入3个盒子,恰有一个盒子没有球”为事件D.由题意可知,C=D+A.
因为事件D和A是互斥事件,所以P(C)=P(D)+P(A),
P(D)=P(C)−P(A)=
7
9
−
1
9
=
2
3
.
由分步乘法原理可知,将完全相同的3个球随机地放入1,2,3号盒子中,共有3
3
=27种放法,每种放法是等可能的.
(1)记“3个球放入同一个盒子的概率”为事件A.
3个球放入同一个盒子的放法有3种:3个球放入1号盒子,或2号盒子,或3号盒子.
故
P(A)=
3
27
=
1
9
.
(2)记“3个球放入3个盒子,每个盒子中都有球”为事件B.
3个球放入3个盒子,每个盒子中都有球,等价于每个盒子只放1个球,有
A
3
3
=6种方法.
故
P(B)=
6
27
=
2
9
.
(3)记“3个球放入3个盒子,至少有一个盒子没球”为事件C.
因为事件C是事件B的对立事件,所以
P(C)=1−P(B)=1−
2
9
=
7
9
.
(Ⅳ)记“3个球放入3个盒子,恰有一个盒子没有球”为事件D.由题意可知,C=D+A.
因为事件D和A是互斥事件,所以P(C)=P(D)+P(A),
P(D)=P(C)−P(A)=
7
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−
1
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=
2
3
.
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