高数零点定理设函数f（x）d对于闭区间[a,b]上任意两点x、y,恒有｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜,其中L为正常数,且f（a）·f（b）＜0证明：至少有一点ξΕ（a,b）,使得f（ξ）＝0
2019-05-22
高数零点定理
设函数f（x）d对于闭区间[a,b]上任意两点x、y,恒有｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜,其中L为正常数,且f（a）·f（b）＜0证明：至少有一点ξΕ（a,b）,使得f（ξ）＝0
优质解答
因为f（a）·f（b）＜0
所以要用零点定理只需证明f(x)是否连续
因为｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜
假设y=x+△x
原式=｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜x－(x+△x)｜=L｜△x｜
因此当△x趋向0时,0≤｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜△x｜
｜f（x）－f（x+△x）｜=0（夹逼定理）
所以f(x)连续且f（a）·f（b）＜0
所以f（ξ）＝0
因为f（a）·f（b）＜0
所以要用零点定理只需证明f(x)是否连续
因为｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜
假设y=x+△x
原式=｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜x－(x+△x)｜=L｜△x｜
因此当△x趋向0时,0≤｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜△x｜
｜f（x）－f（x+△x）｜=0（夹逼定理）
所以f(x)连续且f（a）·f（b）＜0
所以f（ξ）＝0