高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵A使得f(A)=0,证明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
2019-05-07
高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.
设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵A使得f(A)=0,证明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
优质解答
由于秩不依赖于域的选取, 可以在复数域上处理.
先把A化到Jordan标准型, 然后对于每个Jordan块J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一个非奇异(因为g和h没有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以这两个因子恰有一个为零, 另一个满秩. 把所有Jordan块对应的秩加一下就是结论.
由于秩不依赖于域的选取, 可以在复数域上处理.
先把A化到Jordan标准型, 然后对于每个Jordan块J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一个非奇异(因为g和h没有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以这两个因子恰有一个为零, 另一个满秩. 把所有Jordan块对应的秩加一下就是结论.