数学
某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力人数逻辑思维能力一般良好优秀一般221良好4m1优秀13n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布

2019-06-27

某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：
语言表达能力
人数
逻辑思维能力		一般良好优秀
一般221
良好4m1
优秀13n
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
2
5
．
（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．
优质解答
（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，
∴P（A）=
6+n
20
=
2
5
，解得n=2，
∴m=4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，
∴P（B）=1-
C
2
4
C
2
9
=
7
12
．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，
∴P（X=0）=
C
2
12
C
2
20
=
33
95
，
P（X=1）=
C
1
8
C
1
12
C
2
20
=
48
95
，
P（X=2）=
C
2
8
C
2
26
=
14
95
，
∴X的分布列为：
 X 0 1 2
 P 
33
95
 
48
95
 
14
95
E（X）=0×
33
95
+1×
48
95
+2×
14
95
=
4
5
． （1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，
∴P（A）=
6+n
20
=
2
5
，解得n=2，
∴m=4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，
∴P（B）=1-
C
2
4
C
2
9
=
7
12
．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，
∴P（X=0）=
C
2
12
C
2
20
=
33
95
，
P（X=1）=
C
1
8
C
1
12
C
2
20
=
48
95
，
P（X=2）=
C
2
8
C
2
26
=
14
95
，
∴X的分布列为：
 X 0 1 2
 P 
33
95
 
48
95
 
14
95
E（X）=0×
33
95
+1×
48
95
+2×
14
95
=
4
5
．
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