高二圆锥曲线关于椭圆的问题设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X轴上,离心率为根号3/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是根号7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.
2019-05-27
高二圆锥曲线关于椭圆的问题
设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X轴上,离心率为根号3/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是根号7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.
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c/a=√3/2,∴c^2/a^2=3/4,
∴b^2/a^2=1/4,a=2b,
设椭圆方程为x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1,b>0,椭圆上任意一点M为(2bcosu,bsinu),
PM^2=4b^2(cosu)^2+(3/2-bsinu)^2
=4b^2-4b^2(sinu)^2+9/4-3bsinu+b^2(sinu)^2
=-3b^2(sinu)^2-3bsinu+4b^2+9/4
=-3b^2[sinu-1/(2b)]^2+4b^2+3,
1/(2b)=1/2时4b^2+3=7,b=1,sinu=1/2,cosu=土√3/2,
这时,椭圆方程是x^2/4+y^2=1,所求点为（土√3,1/2）；
1/（2b)>1,即b
c/a=√3/2,∴c^2/a^2=3/4,
∴b^2/a^2=1/4,a=2b,
设椭圆方程为x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1,b>0,椭圆上任意一点M为(2bcosu,bsinu),
PM^2=4b^2(cosu)^2+(3/2-bsinu)^2
=4b^2-4b^2(sinu)^2+9/4-3bsinu+b^2(sinu)^2
=-3b^2(sinu)^2-3bsinu+4b^2+9/4
=-3b^2[sinu-1/(2b)]^2+4b^2+3,
1/(2b)=1/2时4b^2+3=7,b=1,sinu=1/2,cosu=土√3/2,
这时,椭圆方程是x^2/4+y^2=1,所求点为（土√3,1/2）；
1/（2b)>1,即b