解法一：
抛物线y² = 8x 的交点坐标为F(2,0),准线方程为x = -2,
∵点在抛物线y² = 8x上,
∴设该点P的横坐标为x,纵坐标为 ±√(8x),
点P到原点的距离为PO = √(x²+8x)
点P到焦点的距离等于它到准线的距离
点P到准线的距离为：(x+2)
由题意,“点P到原点的距离和到焦点的距离比是2 ：√3”
∴√(x²+8x) / (x+2) = 2 / √3
∴√3 × √(x²+8x) = 2 ×(x+2)
两边平方,得：
3(x²+8x) = 4(x+2)²
∴3x² + 24x = 4x² + 16x + 16
∴x² - 8x + 16 = 0
∴(x - 4)² = 0
∴x = 4
则点P纵坐标为纵坐标为√(8x) = √32 = 4√2
∴点P到焦点F 和到原点O的线段及 x轴围成的面积为：
S△POF = (1/2)× OF × (点P纵坐标的绝对值)
= (1/2)× 2 ×(4√2)
= 4√2
解法二：
抛物线y² = 8x 的交点坐标为F(2,0),准线方程为x = -2,
∵点在抛物线y² = 8x上,
∴设该点P的坐标为（a,b）
则 b² = 8a
点P到原点的距离为PO = √(a²+b²)
点P到焦点的距离等于它到准线的距离
点P到准线的距离为：(a+2)
由题意,“点P到原点的距离和到焦点的距离比是2 ：√3”
√(a²+b²) / (a+2) = 2 /√3
∴2(a+2) = √3 ×√(a²+b²)
两边平方,得：
4(a+2)² = 3(a²+b²) 其中b² = 8a
∴4a² + 16a + 16 =3a² + 24a
∴a² - 8a + 16 = 0
∴(a - 4)² = 0
∴a = 4
∴由b² = 8a知点P的纵坐标为±4√2.
∴点P到焦点F 和到原点O的线段及 x轴围成的面积为：
S△POF = (1/2)× OF × (点P纵坐标的绝对值)
= (1/2)× 2 ×(4√2)
= 4√2 解法一：
抛物线y² = 8x 的交点坐标为F(2,0),准线方程为x = -2,
∵点在抛物线y² = 8x上,
∴设该点P的横坐标为x,纵坐标为 ±√(8x),
点P到原点的距离为PO = √(x²+8x)
点P到焦点的距离等于它到准线的距离
点P到准线的距离为：(x+2)
由题意,“点P到原点的距离和到焦点的距离比是2 ：√3”
∴√(x²+8x) / (x+2) = 2 / √3
∴√3 × √(x²+8x) = 2 ×(x+2)
两边平方,得：
3(x²+8x) = 4(x+2)²
∴3x² + 24x = 4x² + 16x + 16
∴x² - 8x + 16 = 0
∴(x - 4)² = 0
∴x = 4
则点P纵坐标为纵坐标为√(8x) = √32 = 4√2
∴点P到焦点F 和到原点O的线段及 x轴围成的面积为：
S△POF = (1/2)× OF × (点P纵坐标的绝对值)
= (1/2)× 2 ×(4√2)
= 4√2
解法二：
抛物线y² = 8x 的交点坐标为F(2,0),准线方程为x = -2,
∵点在抛物线y² = 8x上,
∴设该点P的坐标为（a,b）
则 b² = 8a
点P到原点的距离为PO = √(a²+b²)
点P到焦点的距离等于它到准线的距离
点P到准线的距离为：(a+2)
由题意,“点P到原点的距离和到焦点的距离比是2 ：√3”
√(a²+b²) / (a+2) = 2 /√3
∴2(a+2) = √3 ×√(a²+b²)
两边平方,得：
4(a+2)² = 3(a²+b²) 其中b² = 8a
∴4a² + 16a + 16 =3a² + 24a
∴a² - 8a + 16 = 0
∴(a - 4)² = 0
∴a = 4
∴由b² = 8a知点P的纵坐标为±4√2.
∴点P到焦点F 和到原点O的线段及 x轴围成的面积为：
S△POF = (1/2)× OF × (点P纵坐标的绝对值)
= (1/2)× 2 ×(4√2)
= 4√2