高二圆锥曲线题已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率e=1/2 ,且原点O到直线 x/a+y/b=1的距离为d=(2√21)/7第一题：求椭圆的方程第二题：过点M(√3,0)作直线与椭圆C交于P,Q两点,求△OPQ面积的最大值上网查了，都是糊弄人的。= =还有一题错了，也算正确答案
2019-05-27
高二圆锥曲线题
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率e=1/2 ,且原点O到直线 x/a+y/b=1的距离为d=(2√21)/7
第一题：求椭圆的方程
第二题：过点M(√3,0)作直线与椭圆C交于P,Q两点,求△OPQ面积的最大值
上网查了，都是糊弄人的。= =还有一题错了，也算正确答案
优质解答
(1)d=1/√[(1/a)^2＋(1/b)^2]
d^2=a^2b^2/(a^2＋b^2)=12/7
e^2=(c/a)^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4
a^2=4,b^2=3
椭圆方程：
x^2/4＋y^2/3=1
(2)设直线方程为：ky=x-√3
设p(xa,ya)q(xb,yb)
S△OPQ=1/2*|ya-yb|*om=√3/2|ya-yb|
直线椭圆方程联立,消去x得：
3(ky＋√3)^2＋4y^2=12
(3k^2＋4)y^2＋6√3ky-3=0
ya＋yb=-6√3k/(3k^2＋4)
yayb=-3/(3k^2＋4)
(ya-yb)^2=(ya＋yb)^2-4yayb=108k^2/(3k^2＋4)^2＋12/(3k^2＋4)=(108k^2＋36k^2＋48)/(9k^4＋24k^2＋16)=(144k^2＋48)/(9k^4＋24k^2＋16)=[48(3k^2＋1)]/[(3k^2＋1)^2＋6(3k^2＋1)＋9]
=48/[(3k^2＋1)＋9/(3k^2＋1)＋6]
(1)d=1/√[(1/a)^2＋(1/b)^2]
d^2=a^2b^2/(a^2＋b^2)=12/7
e^2=(c/a)^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4
a^2=4,b^2=3
椭圆方程：
x^2/4＋y^2/3=1
(2)设直线方程为：ky=x-√3
设p(xa,ya)q(xb,yb)
S△OPQ=1/2*|ya-yb|*om=√3/2|ya-yb|
直线椭圆方程联立,消去x得：
3(ky＋√3)^2＋4y^2=12
(3k^2＋4)y^2＋6√3ky-3=0
ya＋yb=-6√3k/(3k^2＋4)
yayb=-3/(3k^2＋4)
(ya-yb)^2=(ya＋yb)^2-4yayb=108k^2/(3k^2＋4)^2＋12/(3k^2＋4)=(108k^2＋36k^2＋48)/(9k^4＋24k^2＋16)=(144k^2＋48)/(9k^4＋24k^2＋16)=[48(3k^2＋1)]/[(3k^2＋1)^2＋6(3k^2＋1)＋9]
=48/[(3k^2＋1)＋9/(3k^2＋1)＋6]